Cách tìm nguyên hàm bằng cách liên kết

Bài toán đặt ra: Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số $F(x)$, nếu ta tìm được một hàm g(x) nào đó sao cho có thể lấy được nguyên hàm của các hàm số $f(x) + g(x)$ và $f(x) - g(x)$, thì chúng ta sẽ lấy hai nguyên hàm này và bằng cách giải hệ phương trình sẽ tìm được ra nguyên hàm của $f(x)$

Bài toán tìm nguyên hàm bằng cách liên kết

B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1. LIÊN KẾT CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp:
+ Chọn hàm liên kết thích hợp.
+ Tìm nguyên hàm của tổng và hiệu các hàm liên kết.
+ Giải hệ phương trình để xác định nguyên hàm cần tìm.

2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho $I = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\sin x + \cos x}}} $ và $J = \int {\frac{{\cos xdx}}{{\sin x + \cos x}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J$?

Lời giải:
$I + J$ $ = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $ $ = \int {1.dx} = x + {C_1}.$
$I – J$ $ = \int {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\cos x + \sin x}}dx} $ $ = \int {\frac{{ – (\cos x + \sin x)’}}{{\cos x + \sin x}}dx} $ $ = – \ln |\cos x + \sin x| + {C_2}.$
$ \Rightarrow 2I$ $ = x – \ln |\cos x + \sin x|$ $ + {C_1} + {C_2}.$
$2J$ $ = x + \ln |\cos x + \sin x|$ $ + {C_1} – {C_2}.$
Vậy: $I = \frac{1}{2}\left[ {x – \ln |\cos x + \sin x|} \right] + C.$
$J = \frac{1}{2}\left[ {x + \ln |\cos x + \sin x|} \right] + C.$

Ví dụ 2. Tính: $I = \int {{{\cos }^2}} x\cos 2xdx$ và $J = \int {{{\sin }^2}} x\cos 2xdx.$

Lời giải:
Ta có:
$I + J$ $ = \int {\cos 2xdx} $ $ = \frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}$ $(1).$
$I – J$ $ = \int {\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)} \cos 2xdx$ $ = \int {{{\cos }^2}} 2xdx.$
$I – J$ $ = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} $ $ = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + {C_2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I + J = \frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}\,\,\,(1)}\\
{I – J = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + {C_2}\,\,\,(2)}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I = \frac{1}{4}\left( {x + \sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C}\\
{J = – \frac{1}{4}\left( {x – \sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C}
\end{array}} \right..$

Ví dụ 3. Tính $I = \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}dx} .$

Lời giải:
Đặt $J = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}dx.} $
Ta có: $I + J$ $ = \int {\left( {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}} \right)dx} $ $ = \int {\frac{1}{{\cos 2x}}dx.} $
$ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + {C_1}.$
$I – J$ $ = \int {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}dx} $ $ = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\cos 2x}}dx} $ $ = \int {1dx} $ $ = x + {C_2}.$
Suy ra: $2I$ $ = x + \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|$ $ + {C_1} + {C_2}.$
Vậy $I = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$

DẠNG 2. LIÊN KẾT HÀM MŨ VÀ LÔGARÍT.
1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần kết hợp với phương pháp liên kết.

2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính: $I = \int {{e^{ax}}.\cos bxdx} $ và $J = \int {{e^{ax}}.\sin bxdx.} $

Lời giải:
Tính $I:$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {e^{ax}}\quad \Rightarrow u’ = a.{e^x}}\\
{v’ = \cos bx \Rightarrow v = \frac{1}{b}\sin bx}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow I = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx – \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}\sin bxdx} .$
$ = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx – \frac{a}{b}.J$ $(1).$
Tính $J:$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {e^{ax}}\quad \Rightarrow u’ = a.{e^{ax}}}\\
{v’ = \sin bx \Rightarrow v = – \frac{1}{b}\cos bx}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow J = – \frac{1}{b}{e^{ax}}.\cos bx + \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}.\cos bxdx} .$
$ = – \frac{1}{b}{e^{ax}}.\cos bx + \frac{a}{b}.I$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1):$ $I = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx$ $ – \frac{a}{b}\left( { – \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}I} \right).$
Vậy $I = \frac{{{e^{ax}}(a\cos bx + b\sin bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$
Tương tự thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: $J = \frac{{{e^{ax}}(a\sin bx – b\cos bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$

Ví dụ 2. Cho $I = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} $ và $J = \int {\frac{{{e^{ – x}}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J.$

Lời giải:
Ta có: $I + J$ $ = \int {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} \right)dx} $ $ = \int {1.dx} = x + {C_1}.$
$I – J$ $ = \int {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} – \frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} \right)dx} .$
$ = \int {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} $ $ = \int {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)’}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} .$
$ = \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_2}.$
$ \Rightarrow 2I = x + \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_1} + {C_2}.$
$2J = x – \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_1} – {C_2}.$
Vậy:
$I = \frac{1}{2}\left[ {x + \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right] + C.$
$J = \frac{1}{2}\left[ {x – \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right] + C’.$

Ví dụ 3. Tính: $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ và $J = \int {\sin (\ln x)dx} .$

Lời giải:
Để tính $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ ta dùng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos (\ln x) \Rightarrow du = – \frac{{\sin (\ln x)}}{x}dx}\\
{dv = dx\quad \Rightarrow v = x}
\end{array}} \right..$
Ta có: $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ $ = x\cos (\ln x) + \int {\sin (\ln x)dx} $ $ = x\cos (\ln x) + J$ $(1).$
Tương tự, bằng cách đặt: $u = \sin (\ln x)$ và $dv = dx$, ta lại tính được: $J = x\sin (\ln x) – I$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2):$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I = x\cos (\ln x) + J}\\
{J = x\sin (\ln x) – I}
\end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I = \frac{1}{2}x\left[ {\cos (\ln x) + \sin (\ln x)} \right] + {C_1}}\\
{J = \frac{1}{2}x\left[ {\sin (\ln x) – \cos (\ln x)} \right] + {C_2}}
\end{array}} \right..$

C. BÀI TOÁN TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}.$

Bài 2. Tính $I = \int {\left( {a{{\cos }^2}wt + b{{\sin }^2}wt} \right)dt.} $

D. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Với $g(x) = \frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}.$ Ta có: $f(x) + g(x) = 1.$
Và $f(x) – g(x)$ $ = \frac{{{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}$ $ = \frac{{\cos 2x}}{{1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}.$
$ = \frac{{2\cos 2x}}{{2 – {{\sin }^2}2x}}$ $ = \frac{{(\sin 2x)’}}{{2 – {{\sin }^2}2x}}.$
Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) + G(x) = x + {C_1}}\\
{F(x) – G(x) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sin 2x}}{{\sqrt 2 – \sin 2x}}} \right| + {C_2}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sin 2x}}{{\sqrt 2 – \sin 2x}}} \right| + C.$

Bài 2. Đặt $J = \int {\left( {b{{\cos }^2}wt + a{{\sin }^2}wt} \right)dt} .$ Ta có:
$I + J$ $ = \int {(a + b)dt} $ $ = (a + b)t + {C_1}$ $(1).$
$I – J$ $ = \int {(a – b)} \cos 2wtdt$ $ = \frac{{a – b}}{{2w}}\sin 2wt + {C_2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow I = \frac{{a – b}}{{4w}}\sin 2wt$ $ + \frac{{a + b}}{2}t + C.$
Chú ý: Ta có thể tính trực tiếp $I$ bằng cách biến đổi:
${\cos ^2}wt = \frac{{1 + \cos 2wt}}{2}$ và ${\sin ^2}wt = \frac{{1 – \cos 2wt}}{2}$ rồi thay vào vẫn đạt được kết quả.

Trên đây, GiaiToan8.com vừa chia sẻ cách tìm nguyên hàm bằng cách liên kết giữa nhiều nguyên hàm của các hàm số. Các em xem thêm Bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân ở đây. Chúc các em học tốt.