Bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân

Khi học về ứng dụng của tích phân, chúng ta được học về bài tính diện tích cũng như thể tích, trong tài liệu này, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân cũng quan trọng không kém.

Tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân

A. Lý thuyết cần nhớ

Phương pháp chung:

+ Xét khai triển $f(x) = {(a \pm bx)^n}.$
+ Tính tích phân hai vế của khai triển với các cận được chọn thích hợp.
+ Chọn $a$, $b$, $x$ thích hợp.

Một số dấu hiệu nhận biết:

+ Nếu số hạng tổng quát dạng: $\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}$ hoặc $\frac{{C_n^k}}{{(n – k + 1)}}$ thì tích phân thường có dạng: $\int_0^1 f (x)dx.$
+ Nếu số hạng tổng quát dạng: $\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{k + 1}}$ hoặc $\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{(n – k + 1)}}$ thì tích phân thường có dạng: $\int_\beta ^\alpha f (x)dx.$
Lưu ý: Ngoài việc tính tích phân của khai triển $f(x) = {(a \pm bx)^n}$ thì một số bài toán còn nhân thêm $2$ vế của khai triển với một đại lượng $g(x)$ nào đó. Trong trường hợp này ta nên xem xét sự chênh lệch giữa $k$ ở $C_n^k$ và mẫu $h$ ở $\frac{{C_n^k}}{h}$ mà nhân thêm hoặc chia bớt đi thích hợp.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Chứng minh rằng: $\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3$ $ + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}$ $ = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}$ (với $n \in Z_ + ^*$).

Lời giải:
Ta có: ${(1 + x)^{2n}}$ $ = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x$ $ + C_{2n}^2{x^2} + C_{2n}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}$ $(1).$
${(1 – x)^{2n}}$ $ = C_{2n}^0 – C_{2n}^1x$ $ + C_{2n}^2{x^2} – C_{2n}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}$ $(2).$
Xét hàm số: $f(x) = \frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}$ $(3).$
Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra: $f(x) = C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3}$ $ + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}$ $(4).$
Từ $(3)$ ta có: $\int_0^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n + 1}} + {{(1 – x)}^{2n + 1}}}}{{2(2n + 1)}}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{{{2^{2n + 1}} – 2}}{{2(2n + 1)}}$ $ = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}$ $(5).$
Từ $(4)$ ta có: $\int_0^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {\left( {C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3} + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}} \right)dx} .$
$ = \left. {\left( {C_{2n}^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_{2n}^3\frac{{{x^4}}}{4} + C_{2n}^5\frac{{{x^6}}}{6} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}\frac{{{x^{2n}}}}{{2n}}} \right)} \right|_0^1.$
$ = \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + \ldots + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}$ $(6).$
Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3$ $ + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}$ $ = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}.$

Bài 2:
1) Tính tổng $S = C_n^1 – 2C_n^2$ $ + 3C_n^3 – 4C_n^4$ $ + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n$ $(n > 2).$
2) Tính tổng $T = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1$ $ + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.$ Biết rằng $n$ là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.$

Lời giải:
1) Xét khai triển ${(1 + x)^n}$ $ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2}$ $ + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Đạo hàm $2$ vế ta được: $n{(1 + x)^{n – 1}}$ $ = C_n^1 + 2C_n^2x + 3C_n^3{x^2}$ $ + \ldots + nC_n^n{x^{n – 1}}.$
Chọn $x= -1$ ta được: $0 = C_n^1 – 2C_n^2 + 3C_n^3 – 4C_n^4$ $ + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n.$
Vậy $S = 0.$
2) Ta có: ${(1 + x)^n}$ $ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Suy ra $\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + C_n^3{x^3} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .$
$\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1$ $ = \left. {\left( {C_n^0x + \frac{1}{2}C_n^1{x^2} + \frac{1}{3}C_n^2{x^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{x^{n + 1}}} \right)} \right|_0^1.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}$ $ = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.$
Suy ra: $T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.$
Mặt khác ta có: $C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2}\\
{n \in N}
\end{array}} \right..$
$C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79$ $ \Leftrightarrow 1 + \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 79.$
$ \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n(n – 1)}}{2} = 79$ $ \Leftrightarrow {n^2} + n – 156 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 12}\\
{n = – 13\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Vậy $T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}$ $ = \frac{{{2^{13}} – 1}}{{13}} = \frac{{8191}}{{13}}.$

Bài 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Tính tổng $C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1$ $ + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n.$

Lời giải:
Xét khai triển ${(1 + x)^n}$ $ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Suy ra: $\int_1^2 {{{(1 + x)}^n}} dx$ $ = \int_1^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} $
$\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}}{{(1 + x)}^{n + 1}}} \right|_1^2$ $ = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_1^2.$
$ \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n$ $ = \frac{{{3^{n + 1}} – {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.$

Bài 4: Với mỗi số tự nhiên $n$, hãy tính tổng $S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2$ $ + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}$ $ + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}.$

Lời giải:
Xét khai triển ${(1 + x)^n}$ $ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Suy ra: $\int_0^2 {{{(1 + x)}^n}} dx$ $ = \int_0^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)} .$
$\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^2$ $ = \left. {\left[ {C_n^0x + \frac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \frac{{C_n^2{x^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}$ $ = C_n^0.2 + \frac{{C_n^1{{.2}^2}}}{2}$ $ + \frac{{C_n^2{{.2}^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{{.2}^{n + 1}}}}{{n + 1}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}$ $ = 2.\left( {C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2 + \frac{1}{3}C_n^2{{.2}^2} + \frac{1}{4}C_n^3{{.2}^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{{.2}^n}} \right).$
$ \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2$ $ + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}$ $ + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}$ $ = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.$
Vậy $S = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.$

Bài 5:
1) Tính tích phân: $I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx.$
2) Tính tổng $S = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1$ $ + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3$ $ + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6.$

Lời giải:
1) Ta có: $I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx$ $ = \left. {\frac{{{{(x + 2)}^7}}}{7}} \right|_0^1$ $ = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}$ $ = \frac{{2059}}{7}$ $(1).$
2) Mặt khác ta có: $I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx$ $ = \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx.$
$ = \int_0^1 {\left( {C_6^0{2^6} + C_6^1{2^5}x + C_6^2{2^4}{x^2} + C_6^3{2^3}{x^3} + C_6^4{2^2}{x^4} + C_6^52{x^5} + C_6^6{x^6}} \right)dx.} $
$ = \left[ {\frac{{{2^6}}}{1}C_6^0x + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1{x^2} + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2{x^3} + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3{x^4} + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4{x^5} + \frac{2}{6}C_6^5{x^6} + \frac{1}{7}C_6^6{x^7}} \right]_0^1.$
$ = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1$ $ + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3$ $ + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $S = \frac{{2059}}{7}.$

Bài 6: Tính tích phân $I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx$ $\left( {n \in {N^*}} \right).$ Từ đó chứng minh rằng: $\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1$ $ + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3$ $ + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n$ $ = \frac{1}{{2(n + 1)}}.$

Lời giải:
Đặt $t = 1 – {x^2}$ $ \Rightarrow dt = – 2xdx$ $ \Rightarrow xdx = – \frac{{dt}}{2}.$
Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\
{x = 1 \Rightarrow t = 0}
\end{array}} \right..$
Suy ra: $I = \int_1^0 {\left( { – \frac{1}{2}{t^n}} \right)dt} $ $ = \frac{1}{2}\int_0^1 {{t^n}} dt$ $ = \left. {\frac{1}{{2(n + 1)}}{t^{n + 1}}} \right|_0^1$ $ = \frac{1}{{2(n + 1)}}$ $(1).$
Mặt khác ta có:
$I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx$ $ = \int_0^1 x \left( {C_n^0 – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^4} – C_n^3{x^6} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^{2n}}} \right)dx.$
$ = \left. {\left( {C_n^0.\frac{{{x^2}}}{2} – C_n^1.\frac{{{x^4}}}{4} + C_n^2.\frac{{{x^6}}}{6} – C_n^3.\frac{{{x^8}}}{8} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n.\frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}}} \right)} \right|_0^1.$
$ = \frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1$ $ + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3$ $ + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1$ $ + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3$ $ + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n$ $ = \frac{1}{{2(n + 1)}}.$

Bài 7: Tính tổng $S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.$

Lời giải:
Xét khai triển ${(1 + x)^n}$ $ = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ hai vế ta được:
$\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} $
$\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1$ $ = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1.\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2.\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n.\frac{{{x^n}}}{2}} \right)} \right|_0^1.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}$ $ = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2$ $ + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.$
Vậy $S = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.$

Bài 8: Chứng minh đẳng thức sau: $\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1$ $ + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6$ $ = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.$

Lời giải:
Xét khai triển: ${(2 + x)^6}$ $ = {2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1$ $ + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6.$
$ \Rightarrow \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {{2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1 + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6} \right)dx.} $
$\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{7}{{(2 + x)}^7}} \right|_0^1$ $ = \left. {\left( {{2^6}C_6^0x + {2^5}\frac{{{x^2}}}{2}C_6^1 + {2^4}\frac{{{x^3}}}{3}C_6^2 + \ldots + \frac{{{x^7}}}{7}C_6^6} \right)} \right|_0^1.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}$ $ = \frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1$ $ + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6.$
Vậy $\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1$ $ + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6$ $ = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.$

Các em xem thêm Giải bài Ứng dụng của tích phân trong hình học lớp 12 ở đây.