Giải bài 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 trang 89, 90 SGK Hình Học 12 nâng cao

Chúng ta sẽ cùng nhau giải tập tại trang 89 và 90 trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 phần nâng cao, áp dụng lý thuyết về Phương trình mặt phẳng, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài toán từ dễ tới khó nha.

Xem thêm: Giải bài 1, 2, 8, 9, 14 trang 80 81 82 SGK Giải Tích 12 nâng cao.

Giải Toán 12 nâng cao Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Giải bài 15 trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao.

a) Mặt phẳng $(MNP)$ nhận vectơ $[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ]$ làm vectơ pháp tuyến. Ta có $\overrightarrow {MN} = ( – 1; – 2;4)$, $\overrightarrow {MP} = ( – 2;1;3)$ nên $[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = ( – 10; – 5; – 5).$ Vậy $mp(MNP)$ đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ pháp tuyến là $( – 10; – 5; – 5)$ nên nó có phương trình: $ – 10(x – 2) – 5y – 5(z + 1) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0.$
b) Vì mặt phẳng đi qua $AB$ và song song với $Oz$ nên nó có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k]$, với $\overrightarrow {AB} = (4;1;2)$, $\vec k = (0;0;1)$ nên $\vec n = (1; – 4;0).$
Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua $A(1;1; – 1)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1; – 4;0)$ nên có phương trình là: $1(x – 1) – 4(y – 1) + 0(z + 1) = 0.$
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với $Oz$ nên có phương trình dạng $Ax + By + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} \ne 0.$
Vì mặt phẳng này đi qua $A(1;1; – 1)$ và $B(5;2;1)$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A + B + D = 0}\\
{5A + 2B + D = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow 4A + B = 0$, nếu $A = 0$ thì $B = 0$ (loại).
Vậy $A \ne 0$, ta chọn $A = 1$ $ \Rightarrow B = – 4$ và $D = 3.$
Vậy phương trình mặt phẳng là: $x – 4y + 3 = 0.$
c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: $x – 5y + z = 0$ nên nó có phương trình dạng: $x – 5y + z + D = 0$, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm $(3;2; – 1)$ nên ta có: $3 – 5.2 + ( – 1) + D = 0$ $ \Leftrightarrow D = 8.$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x – 5y + z + 8 = 0.$
Cách khác:
Vì hai mặt phẳng song song với nhau thì có cùng véctơ pháp tuyến, nên mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (1; – 5;1)$ nên nó có phương trình là: $1(x – 3) – 5(y – 2) + 1(z + 1) = 0$ $ \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0.$
d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng: $x – y + z + 1 = 0$ nên nó có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_1}} ]$, với $\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)$ và $\overrightarrow {{n_1}} = (1; – 1;1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: $x – y + z + 1 = 0.$ Suy ra $\vec n = (0;2;2).$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $y + z – 2 = 0.$
e) Nếu mặt phẳng cần tìm song song với $mp(Oxy)$ thì nó có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (0;0;1)$, mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm $M(a; b; c)$ nên nó có phương trình là: $z – c = 0.$
Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua $M(a; b; c)$ và song song với $mp(Oxz)$ thì có phương trình: $y – b = 0.$
Nếu mặt phẳng cần tìm đi qua $M(a; b; c)$ và song song với $mp(Oyz)$ thì có phương trình: $x – a = 0.$
g) Giả sử ba giao điểm $A$, $B$, $C$ của mặt phẳng với ba trục tọa độ là $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c).$ Vì $G(1; 2; 3)$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên ta có:
$\frac{a}{3} = 1$, $\frac{b}{3} = 2$, $\frac{c}{3} = 3$ suy ra $a = 3$, $b = 6$, $c = 9$ nên ta có phương trình $mp(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1.$
h) Giả sử ba giao điểm $A$, $B$, $C$ của mặt phẳng với ba trục tọa độ là: $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0;0;c).$ Vì $H(2;1;1)$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH} = 0}\\
{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2a + b = 0}\\
{b – c = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow b = c = 2a \ne 0.$
Khi đó, phương trình mặt phẳng $(ABC)$ viết theo đoạn chắn là:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a.$
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua $H(2;1;1)$ nên ta có:
$2.2 + 1 + 1 = 2a$ $ \Leftrightarrow a = 3.$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2x + y + z – 6 = 0.$

Giải bài 16 trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao.

a) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $1:2:( – 1) \ne 2:3:( – 7).$
b) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $1:( – 2):1 \ne 2:( – 1):4.$
c) Hai mặt phẳng song song, vì: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}.$
d) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $3:( – 2):3 \ne 9:( – 6):( – 9).$
e) Hai mặt phẳng trùng nhau, vì: $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}.$

a) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
$\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}$ $ \Leftrightarrow m = – 4$ và $n = – 1.$
b) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
$ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}$ $ \Leftrightarrow n = \frac{1}{2}$ và $m = 4.$

Giải bài 18 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao.

Các hệ số của phương trình mặt phẳng: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ là: $A = 2$; $B = -m$; $C = 3$; $D = m – 6.$
Các hệ số của phương trình mặt phẳng: $(m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0$ là: $A’ = m + 3$, $B’ = – 2$, $C’ = 5m + 1$, $D’ = – 10.$
a) Để hai mặt phẳng song song thì: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}$ $ = \frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{2}{{m + 3}} = \frac{m}{2}}\\
{\frac{m}{2} = \frac{3}{{5m + 1}}}\\
{\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 3m – 4 = 0}\\
{5{m^2} + m – 6 = 0}\\
{5{m^2} – 29m + 24 \ne 0}
\end{array}} \right..$
Hệ này vô nghiệm, nên không có $m$ để hai mặt phẳng đã cho song song.
b) Hai mặt phẳng trùng nhau $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}$ $ = \frac{3}{{5m + 1}} = \frac{{m – 6}}{{ – 10}}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 3m – 4 = 0}\\
{5{m^2} + m – 6 = 0}\\
{5{m^2} – 29m + 24 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$
Vậy $m = 1$ thì hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.
c) Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau (vì theo câu a, hai mặt phẳng này không thể song song với nhau). Theo câu b, ta suy ra giá trị $m$ để hai mặt phẳng cắt nhau là: $m \ne 1.$
Cách khác:
Để hai mặt phẳng cắt nhau thì: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{A}{{A’}} \ne \frac{B}{{B’}}}\\
{\frac{B}{{B’}} \ne \frac{C}{{C’}}}\\
{\frac{C}{{C’}} \ne \frac{A}{{A’}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{2}{{m + 3}} \ne \frac{{ – m}}{{ – 2}}}\\
{\frac{{ – m}}{{ – 2}} \ne \frac{3}{{5m + 1}}}\\
{\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{2}{{m + 3}}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow m \ne 1.$ Vậy điều kiện là $m \ne 1.$
d) Hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}} (2; – m;3)$ và $\overrightarrow {{n_2}} (m + 3; – 2;5m + 1).$
Để hai mặt phẳng vuông góc thì $\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} $ hay $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0.$
$ \Leftrightarrow 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{ – 9}}{{19}}.$
Vậy $m = – \frac{9}{{19}}$ là giá trị cần tìm.

Giải bài 19 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao.

a) Gọi điểm $M(x;y;z)$ là điểm cách đều $(\alpha )$ và $\left( {\alpha ‘} \right)$, khi đó:
$d(M,\alpha ) = d\left( {M,\alpha ‘} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{|2x – y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y – z – 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 5 (2x – y + 4z + 5)$ $ = \pm \sqrt 3 (3x + 5y – z – 1).$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(2\sqrt 5 – 3\sqrt 3 )x – (\sqrt 5 + 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 + \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0\,\,\,(1)}\\
{(2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 )x – (\sqrt 5 – 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 – \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 – \sqrt 3 = 0\,\,\,(2)}
\end{array}} \right..$
Vậy quỹ tích các điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình $(1)$ và $(2).$
b) Cách giải tương tự câu a, ta có tập hợp các điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình sau: $ – 4x + 16y – 20z – 1 = 0$ và $32x – 2y – 8z – 13 = 0.$
c) Gọi $M(x;y;z)$ là điểm cách đều $(\alpha )$ và $\left( {\alpha ‘} \right)$, ta có:
$d(M,\alpha ) = d\left( {M,\alpha ‘} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{|x + 2y + z – 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}$ $ = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}.$
$ \Leftrightarrow (x + 2y + z – 1)$ $ = \pm (x + 2y + z + 5).$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2y + z – 1 = x + 2y + z + 5}\\
{x + 2y + z – 1 = – x – 2y – z – 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 = 5\,\,\,{\rm{(vô\:lý)}}}\\
{x + 2y + z + 2 = 0}
\end{array}} \right..$
Vậy quỹ tích điểm $M$ cần tìm là mặt phẳng có phương trình $x + 2y + z + 2 = 0.$

Giải bài 20 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao.

Ta nhận thấy hai mặt phẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Giả sử điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng: $Ax + By + Cz + D = 0$, ta có khoảng cách cần tìm là: $h = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ $ = \frac{{| – D + D’|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ (vì $A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = – D$).

Vì $M$ nằm trên trục $Oz$ nên có tọa độ dạng: $M = (0;0;c).$

a) Ta có $MA = \sqrt {4 + 9 + {{(4 – c)}^2}} $ $ = \sqrt {13 + {{(4 – c)}^2}} .$
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng: $2x + 3y + z – 17 = 0$ là:
$h = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {4 + 9 + 1} }} = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {14} }}.$
Theo bài ra, ta có: $MA = h$ $ \Leftrightarrow M{A^2} = {h^2}$ $ \Leftrightarrow 13 + {(4 – c)^2} = \frac{{{{(c – 17)}^2}}}{{14}}.$
$ \Leftrightarrow c = 3.$
Vậy $M = (0;0;3)$ là điểm cần tìm.
b) Vì $M(0;0;c)$ cách đều hai mặt phẳng: $x + y – z + 1 = 0$ và $x – y + z + 5 = 0$ nên ta có: $\frac{{| – c + 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|c + 5|}}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow ( – c + 1) = \pm (c + 5)$ $ \Leftrightarrow c = – 2.$
Vậy $M = (0;0; – 2)$ là điểm cần tìm.

Giải bài 22 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O = (0;0;0)$; $A = (a;0;0)$; $B = (0;b;0)$; $C = (0;0;c).$

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = ( – a;b;0)$, $\overrightarrow {AC} = ( – a;0;c)$ nên $\cos \widehat {CAB} = \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )$ $ = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}}$ $ = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} > 0.$
Suy ra góc $\widehat {CAB}$ nhọn.
Tương tự, ta có góc $\widehat {ACB}$ và $\overrightarrow {ABC} $ góc nhọn.
Vậy $\Delta ABC$ có ba góc nhọn (điều phải chứng minh).
b) Mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac;ab).$
Các mặt phẳng $(OBC)$, $(OAC)$, $(OAB)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = (1;0;0)$, $\overrightarrow {{n_2}} = (0;1;0)$, $\overrightarrow {{n_3}} = (0;0;1)$ nên ta có:
${\cos ^2}\alpha = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\vec n} \right)$ $ = \frac{{{{(bc)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.$
${\cos ^2}\beta = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow n } \right)$ $ = \frac{{{{(ac)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.$
${\cos ^2}\gamma = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_3}} ,\overrightarrow n } \right)$ $ = \frac{{{{(ab)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.$
Suy ra: ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma $ $ = \frac{{{{(ab)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(bc)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}} = 1.$

Giải bài 23 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao.

Mặt cầu: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0$ có tâm $I(1;2;3)$; bán kính $R = 4.$ Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng $4x + 3y – 12z + 1 = 0$ nên có phương trình dạng: $4x + 3y – 12z + D = 0$ $(\alpha ).$
Vì mặt phẳng $(\alpha )$ tiếp xúc với mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R = 4$ nên ta có: $d(I,\alpha ) = R.$
$ \Leftrightarrow \frac{{|4 + 6 – 36 + D|}}{{\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4$ $ \Leftrightarrow | – 26 + D| = 52$ $ \Rightarrow D = 78$ hoặc $D = – 26.$
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là: $4x + 3y – 12z + 78 = 0$ hoặc: $4x + 3y – 12z – 26 = 0.$

Chúc các em học tốt!