Giải bài 17, 18, 19, 20, 21, 22 trang 195, 196, 197 SGK Giải Tích 12 nâng cao

Với tài liệu giải toán này, GiaiToan8.com sẽ cùng các em giải tập tại trang 195, 196 và 197 trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 phần nâng cao, áp dụng lý thuyết về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai trong chương 4, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết những bài toán từ dễ tới khó.

Xem lại Giải Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trang 189, 190 SGK Giải Tích 12 nâng cao.

Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Giải bài 17 trang 195 sgk giả tích 12 nâng cao.

Lời giải:
Gọi $z = x + yi$ là căn bậc hai của $ – i$, ta có: ${z^2} = – i.$
$ \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = – i$ $ \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = – i.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 0}\\
{2xy = – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm y}\\
{y = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right..$
Vậy $z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$ và $z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.$
Tương tự:
$4i$ có hai căn bậc hai là $z = \sqrt 2 + \sqrt 2 i$ và $z = – \sqrt 2 – \sqrt 2 i.$
$ – 4$ có hai căn bậc hai là $z = 2i$ và $z = – 2i.$
$1 + 4\sqrt 3 i$ có hai căn bậc hai là $z = – 2 + \sqrt 3 i$ và $z = 2 – \sqrt 3 i.$

Giải bài 18 trang 196 sgk giả tích 12 nâng cao.

Giả sử $w = a + bi$ có một căn bậc hai là $z = x + yi.$
Vì $z$ là một căn bậc hai của $w$ nên ${z^2} = w.$
$ \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = a + bi$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = a}\\
{2xy = b}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{x^4} – 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = {a^2}}\\
{4{x^2}{y^2} = {b^2}}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2}$ $ \Leftrightarrow |w| = |z{|^2}$ $ \Leftrightarrow |z| = \sqrt {|w|} $ (điều phải chứng minh).

Giải bài 19 trang 196 sgk giả tích 12 nâng cao.

a) ${z^2} = z + 1$ $ \Leftrightarrow {z^2} – z – 1 = 0$, có $\Delta = 5.$

$ \Rightarrow z = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$ Vậy phương trình có hai nghiệm là $z = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
b) ${z^2} + 2z + 5 = 0$, có $\Delta = – 16 = 16{i^2} = {(4i)^2}.$
$ \Rightarrow {z_1} = \frac{{ – 2 – 4i}}{2} = – 1 – 2i$ và ${z_2} = \frac{{ – 2 + 4i}}{2} = – 1 + 2i.$
Vậy phương trình có hai nghiệm là: ${z_1} = – 1 – 2i$ và ${z_2} = – 1 + 2i.$
c) ${z^2} + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.$
Ta có $\Delta = {(1 – 3i)^2} + 8(1 + i) = 2i.$
$\Delta $ có hai căn bậc hai là: ${\delta _1} = 1 + i$ và ${\delta _2} = – 1 – i.$
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm là:
${z_1} = \frac{{ – (1 – 3i) + 1 + i}}{2} = 2i$ và ${z_2} = \frac{{ – (1 – 3i) – 1 – i}}{2} = – 1 + i.$

Giải bài 20 trang 196 sgk giả tích 12 nâng cao.

a) Định lí Vi-et vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức.
Giả sử phương trình: $A{z^2} + Bz + C = 0$ ($A \ne 0$, $A,B,C \in C$) có hai nghiệm: ${z_1} = \frac{{ – B + \delta }}{{2A}}$, ${z_2} = \frac{{ – B – \delta }}{{2A}}$ với $\delta $ là một căn bậc hai của biệt số $\Delta = {B^2} – 4AC.$
Ta có:
${z_1} + {z_2} = \frac{{ – B}}{A}.$
${z_1}.{z_2} = \frac{{( – B + \delta )( – B – \delta )}}{{4{A^2}}}$ $ = \frac{{{B^2} – \Delta }}{{4{A^2}}}$ $ = \frac{{{B^2} – {B^2} + 4AC}}{{4{A^2}}}$ $ = \frac{C}{A}.$
b) Theo định lí Vi-et thì hai số phức đó là nghiệm của phương trình:
${z^2} – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0$ $(*).$
Ta có $\Delta = {(4 – i)^2} – 20(1 – i)$ $ = – 5 + 12i.$
$\Delta $ có một căn bậc hai là $\delta = 2 + 3i$ nên $(*)$ có hai nghiệm là:
${z_1} = \frac{{(4 – i) + (2 + 3i)}}{2} = 3 + i$ và ${z_2} = \frac{{(4 – i) + (2 + 3i)}}{2} = 1 – 2i.$
Vậy hai số cần tìm là: $3 + i$ và $1 – 2i.$
c) Giả sử phương trình: ${z^2} + Bz + C = 0$ nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực sau đây: ${z_1} = a + bi$, ${z_2} = a – bi$ với $b \ne 0$, $a,b \in R.$
Vì ${z_1}$, ${z_2}$ là nghiệm của phương trình: ${z^2} + Bz + C = 0$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z_1^2 + B{z_1} + C = 0}\\
{z_2^2 + B{z_2} + C = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(a + bi)}^2} + B(a + bi) + C = 0}\\
{{{(a – bi)}^2} + B(a – bi) + C = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} – {b^2} + 2abi + B(a + bi) + C = 0\,\,(1)}\\
{{a^2} + {b^2} – 2abi + B(a – bi) + C = 0\,\,(2)}
\end{array}} \right..$
Cộng vế với vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:
$2{a^2} + 2aB + 2C = 0$ $ \Leftrightarrow {a^2} + aB + C = 0$ $ \Rightarrow c = – \left( {{a^2} + aB} \right).$
Thay vào $(1)$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow {a^2} – {b^2} + 2abi$ $ + B(a + bi) – \left( {{a^2} + aB} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow – {b^2} + 2abi + bBi = 0.$
$ \Leftrightarrow – b + 2ai + Bi = 0$ (vì $b \ne 0$).
$ \Leftrightarrow B = \frac{{b – 2ai}}{i} = – 2a – bi.$
Vì $b \ne 0$ nên $B = – 2a – bi$ không thể là một số thực, vậy điều khẳng định: $B$ và $C$ là hai số thực là sai.
Điều ngược lại: Nếu $B$, $C$ là hai số thực thì phương trình ${z^2} + Bz + C = 0$ nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực là sai, chẳng hạn phương trình ${z^2} + 2z – 3 = 0$ có hai nghiệm là $z = 1$ và $z = -3.$

Giải bài 21 trang 197 sgk giả tích 12 nâng cao.

a) Phương trình: $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} – 2iz – 1} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + i = 0}\\
{{z^2} – 2iz – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + i = 0}\\
{{{(z – i)}^2} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{{ \pm \sqrt 2 }}{2}(1 + i)}\\
{z = i}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: $z = i$, $z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$, $z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.$
b) Theo bài ra ta có: $z_1^2 + z_2^2 = 8$ $ \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} – 2{z_1}{z_2} = 8.$
$ \Leftrightarrow {B^2} – 6i = 8$ (vì theo Vi-et ${{z_1} + {z_2} = – B}$, ${{z_1}{z_2} = 3i}$).
$ \Leftrightarrow {B^2} = 6i + 8$, vậy $B$ là căn bậc hai của $6i + 8.$
Số $6i + 8$ có hai căn bậc hai là: $3 + i$ và $-3 – i.$
Vậy $B = 3 + i$ hoặc $B = -3 – i.$
Đáp số: có hai số $B$ thỏa mãn bài toán là $B = 3 + i$, $B = – 3 – i.$

Giải bài 22 trang 197 sgk giả tích 12 nâng cao.

1) Trước hết không nên kí hiệu $\sqrt { – 1} $ là một căn bậc hai của $-1$, bởi vì trong phần lí thuyết ta đã biết số $-1$ có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt { – ( – 1)} i$ và $ – \sqrt { – ( – 1)} i.$ Kí hiệu $\sqrt a $ chỉ nên để chỉ: “Giá trị không âm của căn bậc hai của số thực không âm $a$” mà thôi.
2) Sai lầm chính là ở điểm b. Học sinh đó đã xem “kí hiệu mới” của mình: $\sqrt { – 1} $ như là căn bậc hai số học của một số thực không âm, mặc dù rằng $\sqrt { – 1} $ không phải là một số thực (học sinh đó dùng $\sqrt { – 1} $ để chỉ số ảo $i$ hoặc số ảo $-i$) và kí hiệu mới $\sqrt { – 1} $ của học sinh đó cũng không có tính chất tương tự như tính chất của $\sqrt a $ (với $a$ là số thực không âm) mà bằng chứng là chính mâu thuẫn tìm được trong b.
3) Một sai lầm nữa phải được nhắc đến đó là: tính chất trong b: “Tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của hai số đó” là một phát biểu sai, chẳng hạn:
Ví dụ 1:
Số $2$ là một căn bậc hai của số $4.$
Số $-3$ là một căn bậc hai của số $9.$
Số $6$ là một căn bậc hai của số $4.9.$
Theo tính chất trên thì: $2(-3) = 6$, đương nhiên sai.
Ví dụ 2:
Số $i$ là một căn bậc hai của số $-1.$
Số $i + 1$ là một căn bậc hai của số $2i.$
Số $i – 1$ là một căn bậc hai của số: $-1.2i.$
Theo tính chất trên thì:
$i(i + 1) = 1 – i$ $ \Leftrightarrow – 1 + i = 1 – i.$ Sai bản chất của sai lầm của biến đổi trong b không phải do sai trong ý 3 mà do sai trong ý 2. Nhưng sai lầm trong ý 3 cũng cần phải tránh.
4) Cần giải thích thêm sự phân tích trong 2 như sau:
Tính chất: Nếu $x$, $y$ là các số thực không âm thì: $\sqrt x .\sqrt y = \sqrt {x.y} .$
Khi kí hiệu $\sqrt { – 1} .\sqrt { – 1} = \sqrt {( – 1)( – 1)} = 1$, nghĩa là đã xem số $-1$ thỏa mãn tính chất: $ – 1 \ge 0.$
Con đường dẫn đến sai lầm của học sinh đó (có lẽ) diễn ra như sự phân tích trong ý 4.

Phần luyện tập.

Giải bài 23 trang 199 sgk giải tích 12 nâng cao.

a) Khi $k = 1$ ta có phương trình: $z + \frac{1}{z} = 1$, điều kiện $z \ne 0.$
Phương trình $ \Leftrightarrow {z^2} – z + 1 = 0$, có $\Delta = 1 – 4 = – 3 = {(\sqrt 3 .i)^2}.$
Suy ra ${z_1} = \frac{{1 – \sqrt 3 i}}{2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$, ${z_2} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
b) Khi $k = \sqrt 2 $ ta có phương trình: ${z^2} – \sqrt 2 .z + 1 = 0.$
Có $\Delta = 2 – 4$ $ = – 2 = {(\sqrt 2 .i)^2}.$
Suy ra ${z_1} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt 2 i}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$, ${z_2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 2 i}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.$
c) Khi $k = 2i$ ta có phương trình: ${z^2} – 2iz + 1 = 0.$
Có $\Delta = {(2i)^2} – 4$ $ = – 8 = {(2\sqrt 2 .i)^2}.$
Nên suy ra ${z_1} = \frac{{2i – 2\sqrt 2 i}}{2} = (1 – \sqrt 2 )i$, ${z_2} = \frac{{2i + 2\sqrt {2i} }}{2} = (1 + \sqrt 2 )i.$
Vậy phương trình có hai nghiệm là: $(1 – \sqrt 2 )i$ và $(1 + \sqrt 2 )i.$

Giải bài 24 trang 199 sgk giải tích 12 nâng cao.

a) ${z^3} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (z + 1)\left( {{z^2} – z + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow z = – 1$ và $z = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2}i{\rm{ }}.$

b) ${z^4} – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (z – 1)(z + 1)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow z = \pm 1$ và $z = \pm i.$
c) ${z^4} + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {{z^2}} \right)^2} – {(2i)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{z^2} – 2i} \right)\left( {{z^2} + 2i} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} = 2i}\\
{{z^2} = – 2i}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \pm (1 + i)}\\
{z = \pm (1 – i)}
\end{array}} \right..$
d) $8{z^4} + 8{z^3} = z + 1$ $ \Leftrightarrow 8{z^3}(z + 1) = z + 1$ $ \Leftrightarrow (z + 1)\left( {8{z^3} – 1} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow (z + 1)(2z – 1)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – 1}\\
{z = \frac{1}{2}}\\
{4{z^2} + 2z + 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – 1}\\
{z = \frac{1}{2}}\\
{z = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 i}}{4}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có $4$ nghiệm là: $ – 1$; $\frac{1}{2}$; $\frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{4}$; $\frac{{ – 1 – \sqrt 3 i}}{4}.$

Giải bài 25 trang 199 sgk giải tích 12 nâng cao.

a) Vì $z = 1 + i$ là nghiệm của: ${z^2} + bz + c = 0.$
Nên: ${(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0.$
$ \Leftrightarrow 1 + 2i – 1 + b + bi + c = 0$ $ \Leftrightarrow (b + c) + (2 + b)i = 0.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b + c = 0}\\
{2 + b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 2}\\
{b = – 2}
\end{array}} \right..$
Vậy $b = -2$, $c = 2$ là giá trị cần tìm.
b) Vì $z = 1 + i$ và $z = 2$ là nghiệm của phương trình: ${z^3} + a{z^2} + bz + c = 0$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(1 + i)}^3} + a{{(1 + i)}^2} + b(1 + i) + c = 0}\\
{8 + 4a + 2b + c = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0}\\
{8 + 4a + 2b + c = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b + c – 2 = 0}\\
{2 + 2a + b = 0}\\
{8 + 4a + 2b + c = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 4}\\
{b = 6}\\
{c = – 4}
\end{array}} \right..$
Vậy $a = -4$, $b = 6$, $c = -4$ là giá trị cần tìm.

Giải bài 26 trang 199 sgk giải tích 12 nâng cao.

a) Ta có: ${(\cos \varphi + i\sin \varphi )^2}$ $ = \left( {{{\cos }^2}\varphi – {{\sin }^2}\varphi } \right) + 2\sin \varphi .\cos \varphi .i$ $ = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .$
Suy ra $\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi $ có hai căn bậc hai là: $\cos \varphi + i\sin \varphi $ và $ – \cos \varphi – i\sin \varphi .$
Nhận xét: Các giải này sẽ rất thuận lợi cho việc tìm căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ với ${a^2} + {b^2} = 1.$
b) Ta có: $\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 – i)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$ $ = \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}.$
Theo câu a thì số $\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = \cos \frac{\pi }{8} – i\sin \frac{\pi }{8}$ và ${z_2} = – \cos \frac{\pi }{8} + i\sin \frac{\pi }{8}.$
Hay ${z_1} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} – i.\frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}$ và ${z_2} = – \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} + i.\frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}.$

Chúc các em học tốt.