Lời giải bài 1.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 sách Kết nối tri thức đơn giản, dễ hiểu

Nội dung câu hỏi bài 1.23 trang 32 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức ( Chương 1: Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số).

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a, \(y = \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}}\);
b, \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}}\).

Giải toán 12 trang 32 sgk kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Giải bài 1.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 sách Kết nối tri thức

a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \dfrac{5}{{x - 1}}\)

\(y' = 2 - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\) hoặc \(x = \dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\)

Trong khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{{2 - \sqrt {10} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2}; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng \(\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {10} }}{2};1} \right)\) và \(\left( {1;\dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CT}} = 2\sqrt {10} + 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1 + \dfrac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{x - 1}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + 1 + \dfrac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{5}{{x - 1}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2x + 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = x - 1 + \dfrac{4}{{x + 3}}\)

\(y' = 1 - \dfrac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - 5\).

Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng \(\left( { - 5; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; - 1} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 5\), giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1 + \dfrac{4}{{x + 3}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{4}{{x + 3}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1 + \dfrac{4}{{x + 3}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{4}{{x + 3}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 3\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 3; - 4} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giaitoan8.com mời các em xem lại giải bài 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức và xem tiếp lời giải bài 1.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tại đây nhé.