Tổng hợp bài toán đếm liên quan đến hình học

Dạng toán đếm liên quan đến hình học chúng ta sẽ được học trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và xác suất, nếu đã học qua hoặc chưa học tới, các bạn hãy cùng GiaiToan8.com ôn tập và luyện tập qua các bài tập dưới đây.

Tổng hợp bài toán đếm liên quan đến hình học

A. Kiến thức cần nhớ.

Phương pháp chung để tính số hình $(H)$ nào đó:
+ Xác định các yếu tố cấu thành hình $(H)$, chẳng hạn đường thẳng tạo từ $2$ điểm phân biệt, tam giác tạo từ $3$ điểm phân biệt không thẳng hàng hay $3$ đường thẳng cắt nhau đôi một ….
+ Lựa chọn bởi công thức số tổ hợp hay số chỉnh hợp cho phù hợp với việc chọn các yếu tố cấu thành hình $(H).$
+ Loại trừ một số hình không phải $(H)$ (nếu có).

Bài 1: Cho một đa giác đều $n$ đỉnh, $n \in N$, $n \ge 3.$ Tìm $n$ biết rằng đa giác đã cho có $27$ đường chéo.

Lời giải:
Số đường thẳng tạo thành từ $n$ đỉnh của đa giác là: $C_n^2.$
Trong các đường thẳng đó có $n$ đường thẳng là cạnh của đa giác, suy ra số đường chéo của đa giác là: $C_n^2 – n.$
Theo đề bài ta có: $C_n^2 – n = 27$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 27$ $ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} – n = 27.$
$ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 54 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 9}\\
{n = – 6\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Vậy $n=9.$

Bài 2: Cho đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ ($n \ge 2$, $n$ nguyên) nội tiếp đường tròn $(O).$ Biết rằng số tam giác có các đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ nhiều gấp $20$ lần số hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}.$ Tìm $n.$

Lời giải:
Số tam giác có các đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ là: $C_{2n}^3.$
Gọi đường chéo của đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ đi qua tâm đường tròn $(O)$ là đường chéo lớn. Khi đó đa giác đã cho có $n$ đường chéo lớn.
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $2n$ đỉnh ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ đều có $2$ đường chéo là hai đường chéo lớn của đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}.$
Ngược lại: Cứ hai đường chéo lớn bất kỳ của đa giác ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ đều có $4$ đầu mút là $4$ đỉnh của một hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo từ $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ là số cách chọn $2$ đường chéo bất kỳ trong $n$ đường chéo lớn, tức là có: $C_n^2$ hình chữ nhật.
Theo đề ta có: $C_{2n}^3 = 20C_n^2$ $ \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!(2n – 3)!}} = 20.\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{2n(2n – 1)(2n – 2)}}{6} = 20.\frac{{n(n – 1)}}{2}$ $ \Leftrightarrow 2n – 1 = 15$ $ \Leftrightarrow n = 8.$

Bài 3: Cho $2$ đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ song song với nhau. Trên đường thẳng ${d_1}$ cho $10$ điểm phân biệt, trên đường thẳng ${d_2}$ cho $8$ điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà $3$ đỉnh của mỗi tam giác lấy từ $18$ điểm đã cho.

Lời giải:
Một tam giác được tạo thành là một cách chọn $3$ điểm không thẳng hàng trong các điểm thuộc ${d_1}$ và ${d_2}.$
Chọn $3$ điểm không thẳng hàng có các trường hợp sau:
Chọn $2$ điểm thuộc đường thẳng ${d_1}$ và $1$ điểm thuộc đường thẳng ${d_2}$ có: $C_{10}^2C_8^1 = 360$ cách chọn.
Chọn $1$ điểm thuộc đường thẳng ${d_1}$ và $2$ điểm thuộc đường thẳng ${d_2}$ có: $C_{10}^1C_8^2 = 280$ cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: $360 + 280 = 640$ tam giác được tạo thành.

Bài 4:
1) Tìm số giao điểm tối đa của:
a) $10$ đường thẳng phân biệt.
b) $6$ đường tròn phân biệt.
2) Từ kết quả của câu 1, hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.

Lời giải:
1)
a) Cứ hai đường thẳng phân biệt thì có tối đa $1$ giao điểm, nên số giao điểm chính là số cách chọn $2$ đường thẳng bất kỳ trong $10$ đường thẳng phân biệt.
Vậy số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt là $C_{10}^2 = 45.$
b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa $2$ giao điểm $ \Rightarrow $ Số giao điểm tối đa của $6$ đường tròn phân biệt là $2.C_6^2 = 30$ điểm.
2) Số giao điểm tối đa của tập hợp gồm $10$ đường thẳng và $6$ đường tròn chia thành $3$ loại sau:
+ Loại 1: Số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt là $45.$
+ Loại 2: Số giao điểm tối đa của $6$ đường tròn phân biệt là $30.$
+ Loại 3: Số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt và $6$ đường tròn phân biệt được tính như sau:
Cứ $1$ đường thẳng và một đường tròn có tối đa $2$ giao điểm.
Vậy số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt và $6$ đường tròn phân biệt là: $2.C_{10}^1.C_6^1 = 120.$
Vậy tất cả có: $45 + 30 + 120 = 195$ giao điểm tối đa.

Bài 5: Cho mặt phẳng cho đa giác đều $H$ có $20$ cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của $H.$
a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của $H$?.
b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của $H$? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của $H$?

Lời giải:
a) Số tam giác được tạo thành có $3$ đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác $H$ là: $C_{20}^3 = 1140.$
Xét một cạnh bất kỳ của đa giác cùng với $2$ cạnh kề sát nó lập được $2$ tam giác.
Suy ra số tam giác là $20.2 = 40.$
Mà trong $40$ tam giác đó cứ $1$ tam giác đã được đến $2$ lần.
Vậy số tam giác có đúng $2$ cạnh là cạnh của đa giác $H$ là: $20.$
b) Tam giác có đúng $1$ cạnh là cạnh của đa giác được tạo thành từ việc chọn như sau:
Lấy một cạnh bất kỳ của đa giác có $20$ cách chọn.
Sau đó lấy thêm $1$ đỉnh cùng với cạnh trên lập được một tam giác sao cho đỉnh đó không gần kề với $2$ đỉnh trong cạnh đã chọn thì có $16$ đỉnh.
Vậy số tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác là: $20.16 =320.$
Trong các tam giác được lập từ $3$ đỉnh của đa giác được chia thành $3$ loại:
Loại 1: Có đúng $2$ cạnh là cạnh của đa giác $H.$
Loại 2: Có đúng $1$ cạnh là cạnh của đa giác $H.$
Loại 3: Không có cạnh nào là cạnh của đa giác $H.$
Vậy số tam giác loại $3$ là: $1140 – 20 – 320 = 800.$

Bài 6: Cho đa giác lồi $n$ cạnh. Xác định $n$ để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.

Lời giải:
Số đường thẳng đi qua hai đỉnh bất kỳ của đa giác là: $C_n^2.$
Trong các đường thẳng đó có $n$ đường thẳng chứa cạnh của đa giác.
Suy ra số đường chéo của đa giác là: $C_n^2 – n.$
Theo đề bài ta có: $C_n^2 – n = 2n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – 3n = 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} – 3n = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – 1}}{2} – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow n = 7.$
Vậy đa giác có $7$ cạnh.

Bài 7: Xét hình $(H)$ được tạo thành bởi $7$ đường ngang và $8$ đường dọc. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình $(H).$

Lời giải:
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành là một cách chọn $2$ đường ngang và $2$ đường dọc.
Vậy số hình chữ nhật trong hình $(H)$ là: $C_7^2.C_8^2 = 588.$

Bài 8: Cho đa giác lồi $(H)$ không có $3$ đường chéo nào đồng quy. Gọi $c$ là số giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong $(H)$ và $v$ là số véc tơ khác véc tơ $\vec 0$ mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của $(H).$ Hỏi $(H)$ có bao nhiêu cạnh biết rằng $\frac{c}{v} = \frac{5}{4}.$

Lời giải:
Giả sử đa giác $(H)$ có $n$ cạnh, tương ứng có $n$ đỉnh.
Số tứ giác tạo thành từ $n$ đỉnh của đa giác là: $C_n^4.$
Mỗi tứ giác tạo thành có $2$ đường chéo cắt nhau tại $1$ điểm.
Vậy số giao điểm của hai đường chéo là số tứ giác được tạo thành, do đó: $c = C_n^4.$
Số véc tơ được tạo thành khác véc tơ $\vec 0$ từ các đỉnh của $(H)$ là: $v = A_n^2.$
Theo đề bài ta có: $\frac{c}{v} = \frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow \frac{{C_n^4}}{{A_n^2}} = \frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow 4C_n^4 = 5A_n^2.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{4.\frac{{n!}}{{4!(n – 4)!}} = 5.\frac{{n!}}{{(n – 2)!}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{\frac{1}{6} = \frac{5}{{(n – 2)(n – 3)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{(n – 2)(n – 3) = 30}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{{n^2} – 5n – 24 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{{n^2} – 5n – 24 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 8.$
Vậy đa giác $(H)$ có $8$ cạnh.

Bài 9: Trong mặt phẳng cho $n$ đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có $3$ đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

Lời giải:
Mỗi giao điểm được tạo thành là một cách chọn hai đường thẳng bất kỳ trong $n$ đường thẳng.
Vậy số giao điểm là: $C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}$ $ = \frac{{n(n – 1)}}{2}.$
Tam giác được tạo thành có $3$ cạnh là $3$ đường thẳng được chọn từ $n$ đường thẳng.
Vậy số tam giác là: $C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}}$ $ = \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6}.$

Bài 10: Cho $10$ điểm trong không gian, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là $3$ trong $10$ điểm trên?
d) Nếu trong $10$ điểm trên không có $4$ điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?

Lời giải:
a) Mỗi đường thẳng được tạo thành là một cách chọn $2$ điểm bất kỳ trong $10$ điểm.
Vậy số đường thẳng là: $C_{10}^2 = 45.$
b) Một véc tơ được tạo thành là một cách chọn có thứ tự (phân biệt điểm đầu và điểm cuối) $2$ điểm bất kỳ trong $10$ điểm.
Vậy số véc tơ nối từng cặp điểm là: $A_{10}^2 = 90.$
c) Một tam giác được tạo thành là một cách chọn $3$ điểm không thẳng hàng trong $10$ điểm.
Vậy số tam giác là: $C_{10}^3 = 120.$
d) Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn $4$ điểm phân biệt không đồng phẳng trong $10$ điểm.
Vậy số tứ diện là: $C_{10}^4 = 210.$

Chúc các bạn học tốt! Tham khảo Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 ở đây.