Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 91, 92 sgk Hình Học 11

Các em cùng GiaiToan8.com sẽ cùng nhau giải tập tại trang 91 và 92 trong sách giáo khoa Hình học lớp 12, áp dụng lý thuyết về Vectơ trong không gina, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài toán từ dễ tới khó nha.

Giải bài tập Toán 11 bài Vectơ trong không gian.

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11.

a) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm \(I, K, L, M\) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{IA'}\), \(\overrightarrow{KB}\), \(\overrightarrow{KB'}\), \(\overrightarrow{LC}\), \(\overrightarrow{LC'}\), \(\overrightarrow{MD}\), \(\overrightarrow{MD'}\).

b) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm \(I, K, L, M\) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{KB}\), \(\overrightarrow{LC}\), \(\overrightarrow{MD}\).

c) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm \(I, K, L, M\) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{IA'}\), \(\overrightarrow{KB'}\), \(\overrightarrow{LC'}\), \(\overrightarrow{MD'}\).

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11.

a) Ta có: \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {CC'} \)

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{B'C'}\) + \(\overrightarrow{DD'}\)

= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{CC'}\)

\(= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} \)

= \(\overrightarrow{AC'}\);

b) \(\overrightarrow{BD}\) - \(\overrightarrow{D'D}\) - \(\overrightarrow{B'D'}\)

= \(\overrightarrow{BD}\) + \(\overrightarrow{DD'}\) + \(\overrightarrow{D'B'}\)

\( = \overrightarrow {BD'} + \overrightarrow {D'B'} \)

= \(\overrightarrow{BB'}\);

c) Ta có: \(BA'D'C\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'} \)

\(BDD'B'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {D'B'} \)

\(AB'C'D\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {B'A} \)

\(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BA'}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + \(\overrightarrow{C'D}\)

= \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{CD'}\) + \(\overrightarrow{D'B'}\) + \(\overrightarrow{B'A}\)

\( = \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'B'} + \overrightarrow {B'A} \)

\(= \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {B'A} \)

= \(\overrightarrow{0}\).

Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11.

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\), ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó:

\(\left\{ \matrix{\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \hfill \cr \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \hfill \cr} \right.\)\( \Rightarrow\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11.

a) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\)

Cộng từng vế ta được:

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)
\end{array}\)

Do \(M,N\) là trung điểm của \(AB,CD\) nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \) \(= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )\)

b)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr} \)

Cộng từng vế ta được:

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}
\end{array}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)

a) Lấy điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}\)

\( \Rightarrow \) \(G\) là đỉnh của hình bình hành \(ABGC\). Ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \)

\(\Rightarrow\) \(E\) là đỉnh của hình bình hành \(ADEG\).

Hay \(AE\) là đường chéo của hình hộp có ba cạnh \(AB,AC,AD\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AF} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AF} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AF}
\end{array}\)

\(\Rightarrow\) \(F\) là đỉnh của hình bình hành \(ADGF\).

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11.

Theo quy tắ ba điểm ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} \\
\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} \\
\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC}
\end{array} \right.\)

\(\eqalign{& \Rightarrow \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} \cr & = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \cr & = 3\overrightarrow {DG} + \underbrace {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}_{\overrightarrow 0 } \cr & = 3\overrightarrow {DG} \cr} \)

(Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)).

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11.

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(M\) là điểm bất kì trong không gian và \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},\) (Vì M là trung điểm của AC)

\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\) (Vì N là trung điểm của BD)

Cộng từng vế ta được:

\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \) \(= 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0 \)

(Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\))

Giải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11.

\(\eqalign{& \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} \cr &= - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cr &= - \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow c \cr & \overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} \cr & = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cr &= - \overrightarrow b + \overrightarrow a + \overrightarrow c \cr} \)

Nhận xét: Ba véctơ \(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b}; \overrightarrow{c}\) ở trên gọi là bộ ba véctơ cơ sở (dùng để phân tích các véctơ khác).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB'} \\
= \overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\
= \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BB'} \\
= \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} \\
= \overrightarrow c - \overrightarrow b - \overrightarrow a \\
\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} \\
= \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {AB} \\
= \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\
= \overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b
\end{array}\)

Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11.

Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {SC} \):

Ta có:

\( \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \)\(= {2 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SC} + {2 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)\( = - {1 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} - {1 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\left( 2 \right) \)

Nhân (2) với \(2\) rồi cộng với (1) ta được:

\(3\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{SC}\) + \(2\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)

Vậy \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11.

\(I=BH\cap DF\) là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \(BDHF\) do đó \(I\) là trung điểm của \(BH\).

\(K\) là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \(ADHE\) do đó \(K\) là trung điểm của \(AH\).

\(\Rightarrow KI\) là đường trung bình của tam giác \(ABH\).

\(\Rightarrow KI//AB \Rightarrow KI//(ABCD)\) (1)

Ta có: \(BCGF\) là hình bình hành

\(\Rightarrow FG//BC \Rightarrow FG//(ABCD)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: các véctơ \(\overrightarrow{KI}\), \(\overrightarrow{FG}\) song song với mặt phẳng \((ABCD)\) chứa véctơ \(\overrightarrow{AC}\)

Vậy \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{KI}\), \(\overrightarrow{FG}\) đồng phẳng.

Mời các em xem tiếp lời Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 97, 98 sgk Hình Học 11 ở đây. Chúc các em học tốt!