Giải bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Nội dung câu hỏi bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều ( nằm trong Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác).

- Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cos \alpha = - \dfrac{2}{3}\) với \( - \pi < \alpha < 0\)

c) \(\tan \alpha = 3\) với \( - \pi < \alpha < 0\)

d) \(\cot \alpha = - 2\) với \(0 < \alpha < \pi \)

Giải toán 11 trang 15 sgk Cánh diều tập 1

Giải bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức sau :

\({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

\(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\, = \,\,\,1\) với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)

\(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)

\(1 + {\cot ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)

Lời giải:

a) Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{{16}}\)

Lại có \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \dfrac{1}{4}\)

Khi đó \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = - \sqrt {15} ;\cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = - \dfrac{1}{{\sqrt {15} }}\)

b)

Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\cos \alpha = - \dfrac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{5}{9}\)

Lại có \( - \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Khi đó \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

c)

Ta có\(\tan \alpha = 3\) nên

\(\cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{{10}}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{9}{{10}}\)

Với \( - \pi < \alpha < 0\)thì \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {\dfrac{9}{{10}}} \)

Với \( - \pi < \alpha < - \dfrac{\pi }{2}\)thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\dfrac{1}{{10}}} \)

và \( - \dfrac{\pi }{2} \le \alpha < 0\)thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\dfrac{1}{{10}}} \)

d)

Ta có\(\cot \alpha = - 2\) nên

\(\tan \alpha = \dfrac{1}{{\cot \alpha }} = - \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{5}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{4}{5}\)

Với \(0 < \alpha < \pi \)thì \(\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\dfrac{1}{5}} \)

Với \(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}\)thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\dfrac{4}{5}} \)

và \(\dfrac{\pi }{2} \le \alpha < \pi \)thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\dfrac{4}{5}} \)

Giaitoan8.com mời các em xem lại giải bài 3 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều và xem tiếp lời giải bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều tại đây nhé.